1.6. Движение по окружности

Движение тела по окружности является частным случаем криволинейного движения. Наряду с вектором перемещения  удобно рассматривать угловое перемещение Δφ (или угол поворота), измеряемое в радианах (рис. 1.6.1). Длина дуги связана с углом поворота соотношением 

Δl = R Δφ.

При малых углах поворота Δl ≈ Δs.

Рисунок 1.6.1. Линейное  и угловое  перемещения при движении тела по окружности

Угловой скоростью ω тела в данной точке круговой траектории называют предел (при Δt → 0) отношения малого углового перемещения Δφ к малому промежутку времени Δt: 

Угловая скорость измеряется в рад/с.

Связь между модулем линейной скорости υ и угловой скоростью ω: 

υ = ωR.

При равномерном движении тела по окружности величины υ и ω остаются неизменными. В этом случае при движении изменяется только направление вектора 

Равномерное движение тела по окружности является движением с ускорением. Ускорение 
направлено по радиусу к центру окружности. Его называют нормальным или центростремительным ускорением. Модуль центростремительного ускорения связан с линейной υ и угловой ω скоростями соотношениями: 

Для доказательства этого выражения рассмотрим изменение вектора скорости  за малый промежуток времени Δt. По определению ускорения 

Векторы скоростей  и  в точках A и B направлены по касательным к окружности в этих точках. Модули скоростей одинаковы υ_A = υ_B = υ.

Из подобия треугольников OAB и BCD (рис. 1.6.2) следует: 

Рисунок 1.6.2. Центростремительное ускорение тела  при равномерном движении по окружности

При малых значениях угла Δφ = ωΔt расстояние |AB| =Δs ≈ υΔt. Так как |OA| = R и |CD| = Δυ, из подобия треугольников на рис. 1.6.2 получаем: 

При малых углах Δφ направление вектора  приближается к направлению на центр окружности. Следовательно, переходя к пределу при Δt → 0, получим: 

При изменении положения тела на окружности изменяется направление на центр окружности. При равномерном движении тела по окружности модуль ускорения остается неизменным, но направление вектора ускорения изменяется со временем. Вектор ускорения в любой точке окружности направлен к ее центру. Поэтому ускорение при равномерном движении тела по окружности называется центростремительным.

В векторной форме центростремительное ускорение может быть записано в виде 
где  – радиус-вектор точки на окружности, начало которого находится в ее центре.

Модель. Равномерное движение по окружности

Если тело движется по окружности неравномерно, то появляется также касательная (или тангенциальная) составляющая ускорения (см. §1.1): 

В этой формуле Δυ_τ = υ₂ – υ₁ – изменение модуля скорости за промежуток времени Δt.

Направление вектора полного ускорения  определяется в каждой точке круговой траектории величинами нормального и касательного ускорений (рис. 1.6.3).

Рисунок 1.6.3. Составляющие ускорения  и  при неравномерном движении тела по окружности

Движение тела по окружности можно описывать с помощью двух координат x и y (плоское движение). Скорость тела в каждый момент можно разложить на две составляющие υ_x и υ_y (рис. 1.6.4).

При равномерном вращении тела величины x, y, υ_x, υ_y будут периодически изменяться во времени по гармоническому закону с периодом 

Рисунок 1.6.4. Разложение вектора скорости  по координатным осям